최단 경로 - 그래프 내 가장 짧은 경로
1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘
: 여러 개의 노드가 있을 때 특정 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
•
그리디 알고리즘에 해당 (매번 가장 비용이 적은 노드를 선택하여 반복)
•
현재까지 알고 있던 최단 경로를 계속해서 갱신
•
각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 최단거리 테이블(1차원 리스트)에 저장하며
리스트를 계속 갱신함
•
원리
1.
출발 노드 설정
2.
최단 거리 테이블 초기화
3.
방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드 선택
4.
비용 계산하여 최단 거리 테이블 갱신
⇒ 3,4를 반복
1.1. 간단한 다익스트라 알고리즘 :
•
처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언
•
이후에 단계마다 "방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택"하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visted = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visted[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(strat):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visted[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visted[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
Python
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•
시간 복잡도 :
◦
총 O(v)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문
⇒ 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라며 위와 같은 식으로 풀이가 가능
but, 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 불가능
1.2. 개선된 다익스트라 알고리즘 :
•
간단한 다익스트라 알고리즘 매번 최단 거리 테이블을 모든 원소를 앞에서부터 하나씩 탐색해야 했음
•
더욱 빠르게 찾기 위해 힙 자료구조를 사용
◦
힙(Heap)
▪
힙 자료구조는 우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조
▪
우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
•
시간 복잡도 :
◦
힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있음
◦
"거리"가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성
◦
최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
#시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: #이렇게 쓰는거 자체가 큐가 비어있지 않을때까지 반복을 돌게 해줌
#가장 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
#현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
#다익스트라 알고리즘
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])
Python
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2. 플로이드 워셜 알고리즘
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우 사용할 수 있는 알고리즘
•
2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장함
•
플로이드워셜 알고리즘의 경우 다이나믹 프로그래밍
•
점화식
◦
‘A에서 B로 가는 최소 비용’과 ‘A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용’을 비교하여 더 작은 값으로 갱신
◦
시간복잡도 :
#2차원 리스트(그래프 표현)
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
#자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n+1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
#각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
#A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
#점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(n + 1):
for b in range(1, n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
Python
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